Materia: Matemática - Técnico em Informática Integrado (Campus Poços de Caldas)

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Progressão Aritmética

Progressão Aritmética (PA) nada mais e do que uma sequência de números (a1, a2, a3…an) que segue uma “regra” muito simples: Qualquer termo (ou elemento) da sequência, diminuído do termo anterior, terá sempre o mesmo resultado, chamado de razão (r). Vamos dar um exemplo numérico para facilitar:

Imagine a seguinte sequência com seis termos:

(2, 5, 8, 11, 14, 17)

Podemos notar a seguinte relação:

a6– a5= 17 – 14 = 3

a5– a4= 14 – 11 = 3

a4– a3= 11 – 8 = 3

a3– a2= 8 – 5 = 3

a2– a1= 5 – 2 = 3

Ou seja, a sequência apresentada acima é uma P.A. Nela, temos 6 termos com os seguintes valores: a1=2, a2=5, a3=8, a4=11, a5=14 e a6= 17. Além disso, a razão r desta PA é 3.

Após essa análise, percebemos uma propriedade que serve para qualquer P.A:

a2= a1+ r

a3= a2+ r = a1+2r

a4= a3+ r = a1+ 3r

a5= a4+ r = a1+ 4r

a6= a5+ r = a1+ 5r

Generalizando, teremos:

an= a1+ (n-1)r

Essa é a conhecida formulado termo geral da P.A. Com ela, podemos descobrir qualquer termo de qualquer PA apenas sabendo o primeiro termo (a1) e a razão (r). Imagine por exemplo uma PA com a1= 3 e r = 4. Qual seria o décimo termo (ou a10) da sequência? Simples, basta aplicar a fórmula do termo geral que deduzimos anteriormente:

a10= a1+ 9r

a10= 3 + 9.4

a10= 39

Fácil não é? Aliás, dependendo da razão, podemos ter três tipos de P.A:

• P.A crescente: r > 0. Seus termos estarão em ordem crescente.

• P.A constate: r = 0. Seus termos serão todos iguais.

• P.A decrescente: r < 0. Seus termos estarão em ordem decrescente

Caso tenha entendido a dedução da fórmula geral, o exemplo e os três tipos possíveis de PA, podemos falar um pouco sobre a soma dessa sequência. Vamos lá?

Soma da PA


Imagine uma P.A com n termos. Uma característica interessante à qualquer P.A é a seguinte:

a1+ an= a2+a(n-1)= a3+ a(n-2)… e assim por diante!

Não acredita? Vamos utilizar a mesma PA do começo do artigo (2, 5, 8, 11, 14, 17). Como já vimos, nela temos seis termos. Faça as seguintes contas:

a1+a6= 2 + 17 = ?

a2+a5= 5 + 14 = ?

a3+a4= 8 + 11 = ?

Você acha coincidência todas essas contas darem 19? Claro que não! Inclusive, através dessa propriedade, podemos deduzir a fórmula da soma de uma P.A de n termos (Sn)! Basta pegar a soma de um par (a1+ an) e multiplicar pela quantidade de pares (n/2). Assim, teremos:

Sn= (a1+an). n/2

Ou seja, tendo apenas o primeiro termo (a1), o enésimo termo e o número de termos de uma P.A, podemos calcular a soma de todos seus elementos! Vamos testar:

Qual a soma da P.A usada de exemplo neste artigo ? Chamaremos essa soma de Sn. Primeiro, vamos fazer da maneira tradicional:

Sn= a1+ a2+ a3+ a4+ a5+ a6

Sn= 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17

Sn= 57

Agora, vamos aplicar a fórmula:

Sn= (a1+an). n/2

Sn= (2+17). 6/2

Sn= 19. 3

Sn= 57

Percebeu como a aplicação da fórmula da soma de uma P.A é eficiente?

Resumindo: Progressão Aritmética (P.A) é uma sequência numérica que o próximo termo sempre é o anterior acrescido da razão. Qualquer termo da

P.A pode ser calculado com a seguinte fórmula:

an= a1+ (n-1)r

Já a soma da P.A, pode ser calculada da seguinte maneira:

Sn= (a1+an). n/2

Inclusive, demonstramos e demos exemplos da aplicação das duas fórmulas.

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